如何证明并非每个形如N=(p1*p2*……*pn) 1的数都是素数?

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如何证明并非每个形如N=(p1*p2*……*pn) 1的数都是素数?

答:这个证明只需证伪即可,也就是举一个反例。

其中你说的pn,应该是指第n个素数。我们试探一下,很快就会发现:

2×3×5×7×11×13 1=30031=59×509

这就是一个反例,所以命题得证。

形如N=(p1*p2*……*pn) 1的数,是欧几里德在证明素数无限时使用的。

他的证明过程是:

假设素数有限,我们按照大小顺序,分别记作:p1,p2,p3,……pn,其中pn是最大素数 ;

设N为所有素数乘积再加1:N=(p1*p2*……*pn) 1;

现在考虑N是什么?

如果N是素数,显然Ngtpn,与假设矛盾;

如果N是合数,N也不能被已知素数整除,也和假设矛盾;

所以假设错误,素数应该是无限的;

证毕。

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